算数パズル・解答編
Ｓｃｈｕさん
こちらでは初めましてですね。予想大会では所々お見かけしておりますが。
機会があればぜひ僕のところにも(^^)
算数パズルに解答していただいてありがとうございます〜♪
解答を拝見させていただきましたが、ほとんど正解でございました。
中にはＳｃｈｕさんの解答を見て、問題に不備があったなぁと感じる部分もありました。
それでは、簡単な解説付きで解答を書きたいと思います。解答できた方もそうでない方もぜひ〜。
ここで簡単のために、自然数a, bについて、
- gcd(a, b)はaとbの最大公約数
- MOD(a, b)はaをbで割ったときの余り
を示す。
第1問
<1>答：4
2[B]9＝MOD(2×9, 11)＝MOD(18, 11)＝7
7[A]6＝gcd(7, 6)＝1
1[C]5⇒1＋5＝6(3の倍数)より、5−1＝4……(答)
<2>答：1, 12, 26
(7[C]< X >)[B]6＝MOD(7[C]X×6, 11)＝4と示されることより、(7[C]X)×6は【1】「6の倍数でかつ11で割ったときの余りが4」であることを意味する。
ここで、11で割ると余りが4となる数を小さい順から書き並べると、4, 15, 26, 37, 48, …となり、条件【1】に該当する最小値は48であることがわかる。
したがって、この時の7[C]X＝48÷6＝8となり、7＋X＝8となるX＝1であり、この解は条件に合う。
また、7＋Xが3の倍数となったときは2数の差を出力することから、X−7＝8の場合も考える。この時のX＝15となるが、15＋7＝22でこれは3の倍数ではないので、8ではなく22が出力され、条件に合わない。
同様に、次に条件【1】に該当する数は114が当てはまる。
この時の7[C]X＝114÷6＝19となり、7＋X＝19となるX＝12であり、この解は条件に合う。
また、7＋Xが3の倍数となるとき、X−7＝19となるX＝26であり、7＋26＝33は3の倍数なので、この解も条件に合う。
さらに【1】に当てはまる数として、180を考える。
この時の7[C]X＝180÷6＝30となるが、30は3の倍数なので、7＋X＝30とはなりえない。したがって、X＝23は解ではない。
また、X−7＝30となるX＝37であるが、7＋37＝44なので条件が合わない。
これ以降は26を超える数がXの解となるので、小さい順に< X >＝1, 12, 26……(答)
<3>答：< Y >＝3, 5, 9 < Z >＝C
(7[B]< Y >)[A](3[< Z >]9)＝2は「(7[B]< Y >)と(3[< Z >]9)の最大公約数が2」を意味するので、(7[B]< Y >)および(3[< Z >]9)はいずれも偶数となることがわかる。
まずは3[< Z >]9について考える。Zに各装置を当てはめると、
3[A]9＝gcd(3, 9)＝3
3[B]9＝MOD(3×9, 11)＝MOD(27, 11)＝5
3[C]9⇒3＋9＝12(3の倍数)より、9−3＝6
したがって、偶数となるのは装置Cのときのみであるので、< Z >＝C……(答)
次に、「(7[B]< Y >)と6の最大公約数が2」となるときの< Y >を考える。
- Y＝1のとき
- MOD(7, 11)＝7 これは出力が1となるので、題意に合わない。
- Y＝2のとき
- MOD(14, 11)＝3 これは出力が3となるので、題意に合わない。
- Y＝3のとき
- MOD(21, 11)＝10 これは出力が2となるので、題意に合う。
- Y＝4のとき
- MOD(28, 11)＝6 これは出力が6となるので、題意に合わない。
- Y＝5のとき
- MOD(35, 11)＝2 これは出力が2となるので、題意に合う。
- Y＝6のとき
- MOD(42, 11)＝9 これは出力が3となるので、題意に合わない。
- Y＝7のとき
- MOD(49, 11)＝5 これは出力が1となるので、題意に合わない。
- Y＝8のとき
- MOD(56, 11)＝1 これは出力が1となるので、題意に合わない。
- Y＝9のとき
- MOD(63, 11)＝8 これは出力が2となるので、題意に合う。
したがって、< Y >＝3, 5, 9……(答)
<4>答：{(3[C]5)[C]7}[C]1＝2 (1[C]3)[C](5[C]7)＝2
自然数a, b(a＜b)について、a[C]b＝2となる組み合わせは、
- a＋b＝2
- (a, b)＝(1, 1)
- a＋b＝(3の倍数)⇒b−a＝2
- (a, b)＝(2, 4)(5, 7)(8, 10)…
ここで、1,3,5,7を全て足すと16なので、今回は(8, 10)以上の組み合わせにはならない。
また、装置の組み合わせとしては{(k[C]l)[C]m}[C]nと(k[C]l)[C](m[C]n)の2通りが考えられる。
これらを元に、1つ1つ当てはめてみる。
{(k[C]l)[C]m}[C]nの場合
{(k[C]l)[C]m}＝○と置き換え、○[C]n＝2と考える。上の組み合わせからn＝1, 5, 7となる。
n＝1のとき、k＝3, l＝5, m＝7(k, lは順不同)としたときに題意に合う。
他の場合は異なる出力値になる。
(k[C]l)[C](m[C]n)の場合
(k[C]l)＝○、(m[C]n)＝●と置いたとき、k,l,m,nは全て奇数であるので、○・●はいずれも偶数となる。
したがって、○＝2、●＝4(逆もまた然り)のみ当てはまるので、(1[C]3)[C](5[C]7)のとき、
- 1[C]3⇒1＋3＝4
- 5[C]7⇒5＋7＝12より、7−5＝2
から、4[C]2＝2となり、題意に合う。
他の場合は異なる出力値になる。
